Liczby doskonałe - od 6 i 28 do zagadki nieparzystych liczb

Czy 28 może być „idealna”, choć nie chodzi o zaokrąglenie ani wynik działania? Takie pytanie prowadzi do liczb doskonałych, czyli rzadkiej grupy liczb, których dzielniki właściwe składają się dokładnie na całą liczbę. Wyjaśniam, jak rozpoznać ten wzór, skąd biorą się przykłady 6, 28 i 496, co łączy je z liczbami pierwszymi oraz czego matematycy nadal nie wiedzą.

Co naprawdę oznacza doskonałość liczby

Liczba naturalna jest doskonała wtedy, gdy suma jej dodatnich dzielników mniejszych od niej samej daje dokładnie tę liczbę. Nie dodajemy więc samej liczby, ponieważ wtedy warunek byłby spełniony w zupełnie niecieka wy sposób.

Najprostszy przykład to 6. Jej dzielniki właściwe to 1, 2 i 3, a więc:

1 + 2 + 3 = 6

Podobnie działa liczba 28:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

W teorii liczb używa się funkcji σ, która oznacza sumę wszystkich dodatnich dzielników liczby, razem z nią samą. Dla liczby doskonałej zachodzi więc zależność σ(n) = 2n. To bardziej formalny zapis tej samej, prostej zasady.

Jak sprawdzić, czy liczba jest doskonała

Na poziomie szkolnym wystarczy wypisać dzielniki właściwe i je dodać. Dla liczby 28 sprawdzamy liczby od 1 do 27, wybieramy te, które dzielą 28 bez reszty, a potem obliczamy sumę.

Przy większych liczbach nie trzeba sprawdzać wszystkich wartości. Dzielniki występują parami, na przykład dla 28 są to pary 1 i 28, 2 i 14, 4 i 7. W praktyce wystarczy szukać dzielników do √n i dopisywać odpowiadające im ilorazy. To znacznie ogranicza liczbę obliczeń.

Dobrym ćwiczeniem z programowania jest napisanie funkcji sprawdzającej ten warunek:

def czy_doskonala(n):
    if n < 2:
        return False

    suma = 1
    dzielnik = 2

    while dzielnik * dzielnik <= n:
        if n % dzielnik == 0:
            suma += dzielnik
            drugi = n // dzielnik
            if drugi != dzielnik:
                suma += drugi
        dzielnik += 1

    return suma == n

Najczęstszy błąd polega na dodaniu samej liczby do jej dzielników albo na dwukrotnym doliczeniu dzielnika przy liczbie będącej kwadratem. Właśnie dlatego przykład 36 jest dobry do nauki, ponieważ jego dzielnik 6 tworzy parę z samym sobą.

Skąd biorą się kolejne przykłady

Za powstawanie wszystkich znanych parzystych liczb doskonałych odpowiada związek odkryty między innymi przez Euklidesa i Eulera. Jeżeli 2^p - 1 jest liczbą pierwszą, to liczba:

2^p-1(2^p - 1)

jest doskonała. Liczby pierwsze postaci 2^p - 1 nazywa się liczbami pierwszymi Mersenne’a. Dla kolejnych wartości p otrzymujemy:

• p = 2, więc 2² - 1 = 3, a wynik to 6,
• p = 3, więc 2³ - 1 = 7, a wynik to 28,
• p = 5, więc 2⁵ - 1 = 31, a wynik to 496,
• p = 7, więc 2⁷ - 1 = 127, a wynik to 8128.

Ten wzór pokazuje, dlaczego kolejne przykłady rosną tak gwałtownie. Piątą znaną liczbą jest 33 550 336, a następną 8 589 869 056. Nie wystarczy jednak wybrać dowolnej liczby pierwszej p. Przykładowo 11 jest pierwsza, ale 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 · 89, więc nie otrzymamy z niej liczby doskonałej.

Twierdzenie Euklidesa i Eulera mówi także coś mocniejszego. Każda parzysta liczba doskonała musi mieć właśnie taką postać. Dzięki temu poszukiwanie nowych przykładów sprowadza się do badania liczb pierwszych Mersenne’a.

Co matematyka nadal zostawia bez odpowiedzi

Wszystkie dotąd znalezione przykłady są parzyste. Nadal nie wiadomo, czy istnieje choć jedna nieparzysta liczba doskonała. To jeden z klasycznych nierozwiązanych problemów teorii liczb, mimo że sama definicja jest bardzo łatwa do zrozumienia.

Wiemy jednak, że ewentualny nieparzysty przykład musiałby mieć wyjątkowo skomplikowaną budowę i być ogromny. Znane wyniki wykluczają jego istnienie dla liczb nie większych niż 10¹⁵⁰⁰. Taka granica nie rozstrzyga problemu, ale dobrze pokazuje, jak daleko od zwykłego sprawdzania kalkulatorem znajduje się współczesne badanie tego zagadnienia.

Nie wiadomo również, czy istnieje nieskończenie wiele parzystych liczb doskonałych. Jest to związane z pytaniem, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne’a. Każdy nowy przykład wymaga więc nie tylko pomysłowego wzoru, lecz także bardzo kosztownych obliczeniowo testów pierwszości.

Nie pomyl ich z innymi typami liczb

Najłatwiej pomylić te liczby z liczbami zaprzyjaźnionymi albo nadmiarowymi. Wszystkie te pojęcia opierają się na sumie dzielników właściwych, ale opisują różne relacje.

Para 220 i 284 nie jest więc jedną „większą” liczbą doskonałą. Dla 220 suma dzielników właściwych wynosi 284, a dla 284 wynosi 220. W przypadku liczby doskonałej suma wraca do tej samej wartości.

Najlepsza lekcja z jednej niezwykłej sumy

Najważniejszy schemat można zapamiętać w trzech krokach. Najpierw znajdź dzielniki właściwe, potem je dodaj, a na końcu porównaj wynik z badaną liczbą. Jeśli suma jest mniejsza, liczba jest deficytowa, jeśli większa, nadmiarowa, a równość oznacza doskonałość.

• Sprawdź ręcznie liczby 6, 28, 12 i 8.
• Porównaj parę zaprzyjaźnioną 220 i 284.
• Użyj wzoru Euklidesa i Eulera dla p = 2, 3, 5 i 7.
• Napisz program, który wyszuka takie liczby w przedziale od 1 do 10 000.

To temat, który dobrze łączy arytmetykę, logikę i programowanie. Moim zdaniem właśnie ta prostota definicji połączona z nierozwiązanym problemem nieparzystych przykładów sprawia, że liczby doskonałe są znacznie ciekawsze niż zwykła lista matematycznych osobliwości.